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关于上节课的一些补充

\[ R_{\theta}^{-1} = R_{-\theta} \mathrm{by definition} \]

通过观察还能发现，\(R_{\theta}^{T} = R_{-\theta} = R_{\theta}^{-1}\)

Today:

• 3D transformations
• Viewing(观测) transformation
  • View(视图) / Camera transformation
  • Projection(投影) transformation
    • Orthographic(正交) projection
    • Perspective(透视) projection

3D Transformations

3维的操作和2维的操作都是一样的，只是多了一个维度。

\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \]

左上角的 3x3 矩阵依旧表示线性变换，最右边一列仍然表示平移变换。

Scale

\[ S(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Translation

\[ T(t_x, t_y, t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

比较复杂的可能就是旋转了。

Rotation

\[ R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

绕 x 轴旋转 \(\alpha\) 角度，x 坐标是不变的，所以左上角是 1， 而中间的 2x2 矩阵是一个二维的旋转矩阵，表示在 yz 平面上的旋转。

同样绕 z 轴旋转 \(\alpha\) 角度：

\[ R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 & 0 \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

依旧是一个二维的旋转矩阵。

但是绕 y 轴旋转的时候情况就不一样了：

\[ R_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & 0 & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & 0 & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

这里该怎么理解呢？

x, y, z 三个坐标轴，我们可以由 x 轴叉乘 y 轴，从而得到 z 轴；y 轴叉乘 z 轴得到 x 轴，但是如果按照 x, y, z 这样的顺序的话，x 轴叉乘 z 轴并不能得到 y 轴，而是 -y 轴，所以这里对应的绕 y 轴旋转的矩阵是反过来的。

如果是一般性的旋转，我们可以转化成绕 x, y, z 轴的旋转的组合。

\[ R_{xyz}(\alpha, \beta, \gamma) = R_x(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma) \]

Rodrigues' Rotation Formula

\[ R(\vec{n}, \alpha) = \cos(\alpha) I + (1 - \cos(\alpha)) \vec{n} \vec{n}^T + \sin(\alpha) \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix} \]

其中 \(\vec{n}\) 是旋转轴，\(\alpha\) 是旋转角度。

这里默认旋转轴的起点是原点，如果不是的话，我们可以先平移到原点，然后旋转，再平移回去。

Viewing Transformation

View / Camera Transformation

• What is view transformation?
• Think about how to take a photo
  • Find a good place and arrange people(model transformation, 模型变换，把模型放到合适的位置)
  • Find a good angle to put the camera(view transformation)
  • Take a photo(projection transformation)

三步变换：模型变换、视图变换、投影变换，简称 MVP 变换。

如何做视图变换呢？

我们首先需要确定相机的位置，然后确定相机的朝向，最后确定相机的上方向。

\[ \mathrm{Position} \ \vec{e} \]

\[ \mathrm{Look-at/gaze direction} \ \vec{g} \]

\[ \mathrm{Up \ direction, assuming \ prep. to \ look-at} \ \vec{t} \]

上方向：相机头顶的朝向，就比如我们手机拍照是横屏还是竖屏，最后拍到的照片就是不一样的。

这里定义了三个方向实际上就是定义了一个坐标系。

我们可以规定相机永远不动，而是所有的物体在移动。相机在原点，永远朝向 -z 方向看，上方向是 y 方向。

然而我们现在的相机是在 tge 坐标系中的，所以我们需要把相机的坐标系转换到 xyz 坐标系中。

我们可以这么先把相机平移到原点，然后把 g 轴转到 -z 轴，然后把 t 轴转到 y 轴。

所以有

\[ M_{view} = R_{view}T_{view} \]

平移矩阵很好写，就是把相机平移到原点。

\[ T_{view} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

但是旋转矩阵就不太好写了，因为我们要把 \((x_g, y_g, z_g)\) 旋转到 \((0, 0, -1)\), 这个很麻烦，但是反过来是好写的。

\[ R_{view}^{-1} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & x_{t} & x_{-g} & 0 \\ y_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{t} & y_{-g} & 0 \\ z_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{t} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

从而得到

\[ R_{view} = (R_{view}^{-1})^{T} = \begin{bmatrix} x_{\vec{g} \times \vec{t}} & y_{\vec{g} \times \vec{t}} & z_{\vec{g} \times \vec{t}} & 0 \\ x_{t} & y_{t} & z_{t} & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Projection Transformation

正交投影和透视投影

如图是虎书上关于正交投影和透视投影的两个例子，左边是我们很熟悉的正交投影，右边是透视投影。

这个正方体在正交投影中，每条对边都是平行的，但是在透视投影中，这个正方体的对边就不再平行了，但是透视投影能给我们带来“近大远小”的效果。

左侧表示的是透视投影的原理，右侧是正交投影的原理。

透视投影中，相机与被拍摄的物体之间形成了一个锥形；而在正交投影中，我们假设相机放在无穷远处，所以相机与物体之间形成的是平行的光线。

Orthographic Projection

我们可以定义一个立方体(cuboid)，它的左右在 x 轴上是 \([l, r]\), 下上在 y 轴上是 \([b, t]\), 远近在 z 轴上是 \([f, n]\)。

我们可以把这个立方体映射到位于原点处的标准立方体上(\([-1, 1]^{3}\)): 先把立方体平移到原点，然后把 x, y, z 分别缩放到 \([-1, 1]\)。这个过程叫做 canonical(正则，规范，标准)。

\[ M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t - b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r + l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t + b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n + f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Perspective Projection

在开始之前，先回忆之前在齐次坐标中讲过的内容：

对于一个点 \((x, y, z, 1)\) 和 \((kx, ky, kz, k != 0), (xz, yz, z^2, z != 0)\), 它们都表示三维空间中的同一个点 \((x, y, z)\)

同样定义近和远两个平面，远的平面大一些，近的平面小一些。

简单理解：把 Frustum “挤”成一个长方体，然后再用正交投影。

在“挤”的过程中，我们规定几个事情：

1. 近平面上的点不变
2. 远平面挤过之后，它的 z 值不变，即远平面不会前后移动
3. 远平面挤过之后，中心点不变

剩下的问题就是怎么“挤”了。

我们从侧面观察，相机在原点，近平面上某个点是 \((x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})\), 远平面上某个点是 \((x, y, z)\)。

根据数学关系很容易得出：

\[ y^{\prime} = \frac{n}{z} y \]

同理

\[ x^{\prime} = \frac{n}z x \]

我们想要把 \((x, y, z, 1)^{T}\) 映射到 \((x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, 1)^{T}\).

也就是

\[ M_{presp->ortho} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{nx}{z} \\ \frac{ny}{z} \\ \mathrm{unknown} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ \mathrm{unknown} \\ z \end{pmatrix} \]

根据已知信息，可以得到一部分的矩阵：

\[ M_{persp->ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

结合我们之前规定，近的平面上的点不变，远的平面挤过之后，它的 z 值不变：

对于近平面上的点 \((x, y, n, 1)\), 它映射之后还是 \((x, y, n, 1) \ = \ (nx, ny, n^2, n)\), 对于远平面上的中心点 \((x, y, f, 1)\)，它映射之后还是自己

于是我们就得到矩阵的第三行：\((0, 0, n+f, -nf)\)

所以最终的矩阵是：

\[ M_{persp->ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

最后再左乘正交投影矩阵 \(M_{ortho}\) 就得到了透视投影矩阵。

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