Transformation

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Outline:

• Why study transformation
• 2D transformations: rotation, scale, shear(旋转，缩放，切片)
• Homogeneous coordinates(齐次坐标)
• Composing transforms(组合变换)
• 3D transformations(3D 变换)

2D Transformations

Scale

对于一个图形的缩放，比如：

我们最直观的想法就是每个点的坐标乘以一个系数：

\[ x^{\prime} = sx \]

\[ y^{\prime} = sy \]

写成矩阵形式：

\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]

这个矩阵就是一个缩放矩阵。

如果缩放不是均匀的，只需要改变对角线上的系数为 \(s_x\) 和 \(s_y\) 即可。

Reflection

相对于 Y 轴的反射：

\[ x^{\prime} = -x \]

\[ y^{\prime} = y \]

写成矩阵形式：

\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]

Shear(切变)

Hint

Horizontal shift is \(0\) at \(y \ = \ 0\)

Horizontal shift is \(a\) at \(y \ = \ 1\)

Vertical shift is always \(0\)(只有水平方向坐标发生变化，垂直方向坐标不变)

\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]

Rotation

我们规定两件事：

1. 只要无特殊说明，我们都认为图像是绕着原点旋转的
2. 默认逆时针方向为正方向

我们尝试找到一个矩阵，能够表示一个点绕原点旋转 \(\theta\) 角度后的坐标。

参考下面的图片：

\[ R_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \]

如何快速推出这个矩阵？

假设矩阵是

\[ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \]

我们知道所有的点经过旋转之后都是满足这个矩阵的，那么我们可以取 \((1, 0)\) 这个点，它经过旋转后的坐标是 \((\cos \theta, \sin \theta)\)，所以我们可以得到：

\[ \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

从而得到 \(A = \cos \theta\)，\(C = \sin \theta\)

同理取 \((0, 1)\) 这个点，可以得到 \(B = -\sin \theta\)，\(D = \cos \theta\)

以上几个例子我们可以得到一个共同点：变换之后的坐标可以写成一个矩阵乘以原坐标的矩阵

这种变换我们统称为线性变换。

Homogeneous Coordinates

平移变换：

\[ x^{\prime} = x + t_x \]

\[ y^{\prime} = y + t_y \]

它们不能写成之前的矩阵形式，因为这不是线性变换。

\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} \]

但是我们不希望把平移当作特殊情况来看待，我们希望所有的变换都可以写成矩阵相乘的形式。

我们可以通过引入齐次坐标来解决这个问题，所谓齐次坐标就是用 \((n+1)\) 维的向量来表示 \(n\) 维的点。

对于一个点或者一个向量，我们可以增加一个维度

\[ \mathrm{2D point} = (x, y, 1)^{T} \]

\[ \mathrm{2D vector} = (x, y, 0)^{T} \]

那么平移变换就可以写成：

\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ w^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix} \]

Note

• vector + vector = vector
• point - point = vector
• point + vector = point(点朝着向量方向移动)
• point + point = 中点

在齐次坐标系中，对于任意 \(w\neq 0\) 的点 \((x, y, w)\)，我们把他写成 \((x/w, y/w, 1)\), 用来表示二维空间中 \((x/w, y/w)\) 这个点。

所以点 \((x_1, y_1, 1) + (x_2, y_2, 1) \ = \ (x_1 + x_2, y_1 + y_2, 2)\)，转换过来就是 \((\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, 1)\)，即两个点的中点。

所有的仿射变换(先线性变换，后平移变换)都可以写成一个矩阵乘以一个齐次坐标的形式。

\[ \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \]

Composing Transforms

\[ T_{(1, 0)} \cdot R_{45} \]

注意矩阵乘法的顺序！

Note

如果一个向量要乘以多个矩阵，那么顺序应该是从右往左一个一个乘（可以使用结合律）。

Decomposing Complex Transforms

我们之前说的旋转，默认它是绕原点进行旋转的，如果我们想要绕任意点进行旋转的话，我们可以先平移到原点，然后旋转，最后再平移回去。

得到矩阵表示：

\[ T(c) \cdot R(\alpha) \cdot T(-c) \]

先把所有点沿着 \(-c\) 方向平移，然后旋转，最后再平移回去。

3D Transformations

三维变换和二维变换类似，只是多了一个维度。

至于齐次坐标，我们类似可以用 \((x, y, z, 1)^{T}\) 来表示点，用 \((x, y, z, 0)^{T}\) 来表示向量。

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