Preview of Linear Algebra¶
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A Swift and Brutal Introduction to Linear Algebra.
Vertors¶
在图形学中，默认向量是列向量。
Dot Product¶
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ ||\vec{a}|| \ ||\vec{b}|| \ cos(\theta)
\]
- Properties:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
- \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
- \((k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b})\)
点乘在图形学最大的作用就是找到两个向量之间的夹角。还可以找到一个向量在另一个向量上的投影。
投影算出来之后我们就可以把一个向量分解成两个向量的和，一个是在另一个向量上的投影，一个是垂直于另一个向量的向量。
\[
\vec{b_{\parallel}} = \vec{b} - \vec{b_{\perp}}
\]
还可以算两个向量在方向上有多么接近。我们通过计算两个单位向量的点乘，如果结果接近 1, 那么我们可以说这两个向量非常接近。
另一个应用是判断向量是否在同一方向上。如果两个向量的点乘大于0，那么这两个向量在同一方向上。
Cross Product¶
\[
|| \vec{a} \times \vec{b}|| = ||\vec{a}|| \ ||\vec{b}|| \ sin(\theta) \ \vec{n}
\]
\[
\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}
\]
计算出来的结果是一个向量，这个向量垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)。方向可以用右手定则判定。
右手定则
\[
\vec{a} \times \vec{b}
\]
四指从 \(\vec{a}\) 旋转到 \(\vec{b}\)，拇指指向的方向就是 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向。
- Properties:
- \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
- \((k \vec{a}) \times \vec{b} = k (\vec{a} \times \vec{b})\)
- \(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\)
假设 \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}\), 那么
\[
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} y_a z_b - z_a y_b \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}
\]
叉乘两个最大的作用：判断左和右，判断内与外。
- 判断左和右：如果想判断 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 的左边还是右边，就用 \(\vec{a} \times \vec{b}\)，如果结果是正的，那么 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 的左边，反之在右边。
- 判断内与外：想判断 P 点在三角形 ABC 的内部还是外部，我们可以依次计算 \(\vec{AB} \times \vec{AP}\), \(\vec{BC} \times \vec{BP}\), \(\vec{CA} \times \vec{CP}\)，如果 P 点都在三条边的同一侧，那么这个点在三角形内部。
Orthonormal Coordinate Frames¶
定义右手直角坐标系的三个基向量 \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\), 它们满足：
\[
||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| = ||\vec{w}|| = 1
\]
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{u} = 0
\]
\[
\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}
\]
那么任意一个向量都可以用这三个向量表示：
\[
\vec{p} = (\vec{p} \cdot \vec{u}) \vec{u} + (\vec{p} \cdot \vec{v}) \vec{v} + (\vec{p} \cdot \vec{w}) \vec{w}
\]
Matrices¶
矩阵没有交换律，有结合律和分配律。
- (AB)C = A(BC)
- A(B + C) = AB + AC
- (A + B)C = AC + BC