Maxwell’s Equations
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电磁学基本方程
四个方程(真空中):
\[
\iint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{q_{0}}{\epsilon_{0}}
\]
\[
\iint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0\notag
\]
\[
\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = -\frac{d\phi_{B}}{dt} = -\iint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{A}\notag
\]
\[
\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0}i\notag
\]
电介质中:
引入极化强度矢量\(\vec{P}\),电位移矢量\(\vec{D}\),介电常数\(\kappa_{e}\),电流密度\(\vec{J}\),磁感应强度\(\vec{B}\),磁场强度\(\vec{H}\),磁化强度\(\vec{M}\).它们有如下的关系:
\[
\vec{D} = \epsilon_{0} \vec{E} + \vec{P} = (1 + \chi_{e})\epsilon_{0} \vec{E} = \kappa_{e} \epsilon_{0} \vec{E}
\vec{J_{0}} = \sigma \vec{E}(欧姆定律微分形式)\notag
\]
\[
\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_{0}} - \vec{M}
\]
\[
\vec{M} = \chi_{m}\vec{H}
\Rightarrow
\vec{B} = \mu_{0}(\vec{H} + \vec{M}) = \mu_{0}(1 + \chi_{m})\vec{H} = \mu_{0}\kappa_{m}\vec{H}\notag
\]
从而引入新方程:
\[
\iint \vec{D} \cdot d\vec{A} = q_{0}
\]
\[
\iint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0
\]
\[
\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \iint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{A}
\]
\[
\oint \vec{H} \cdot d \vec{l} = \iint \vec{J} \cdot d \vec{A}\notag
\]
把它变成微分形式:
\[
\left\{
\begin{matrix}
\nabla \cdot \vec{D} = \rho_{e0} \\
\nabla \cdot \vec{B} = 0 \\
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \vec{H} = \vec{j_{0}}
\end{matrix}
\right.\notag
\]
对称性原则:科学家希望世界是对称的,磁场和电场也一样
所以科学家引入磁荷\(q_{m}\)对方程修正
\[
\left \{
\begin{matrix}
\iint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0 \\
\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \iint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{A}
\end{matrix}
\right.
\rightarrow
\left \{
\begin{matrix}
\iint \vec{B} \cdot d \vec{A} = q_{m} \\
\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = \frac{dq
_{m}}{dt} - \iint \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{A}
\end{matrix}
\right.\notag
\]
Stokez公式与麦克斯韦方程
先用电场的环路定理,然后用斯托克斯公式变成面积分
\[
\oint \vec{H} \cdot d \vec{l} = i_{0} = \iint_{S_{2}} \vec{j_{0}} \cdot d \vec{A}
\]
\[
\iint_{S_{1}} \vec{j_{0}} \cdot d \vec{A} = \iint_{S_{2}} \vec{j_{0}} \cdot \vec{A} = i_{0}
\]
\[
\iint_{S} \vec{j_{0}} \cdot \vec{A} = \iint_{S_{1}} \vec{j_{0}} \cdot d \vec{A} + \iint_{S_{2}} \vec{j_{0}} \cdot d \vec{A} = 0\notag
\]
Note
第二个式子是分别对两个曲面用环路定理,都等于\(i_{0}\),然后把左边的关于\(s_{1}\)的积分移到右边去,相当于两个半个面合并为一个闭合曲面,最终结果等于零.
只要任何一个闭合曲面的积分,电流流进去和流出来的相等,那我任意取面,上边的公式都是成立的.
但是这个结论对于电容器充电过程并不成立.
Warning
对于上边的电容器充电过程,电流从左边流入,右边流出.对于\((1,2),(1,4)\)构成的曲面,流进去和流出来是相等的,曲面积分为0.但是由于电容器两极板间没有电流,所以\((1,3)\)构成的曲面,流入流出的电流并不相等,曲面积分不为0,不好.
所以自然引入位移电流\(i_{D}\)
\[
\oint \vec{H} \cdot d \vec{l} = I_{0} + I_{D}\notag
\]
我们想要知道\(I_{D}\)到底是什么,从曲面积分出发
对于\((1,3)\)曲面,记为\(S\),电流只进不出
\[
\iint_{S} \vec{J} \cdot d \vec{A} = -\frac{dq}{dt} (电流定义)
\]
\[
\iint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{A} = q (高斯定律)
\]
\[
对q微分 \\ \Rightarrow
\frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} \iint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{A} = \iint_{S} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d \vec{A}\notag
\]
带回第一个式子
\[
\iint_{S} \vec{J} \cdot d \vec{A} = - \iint_{S} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d \vec{A}
\]
\[
\iint_{S}(\vec{j_{0}} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{A} =0
\]
\[
- \iint_{S_{1}}(\vec{j_{0}} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{A} = \iint_{S_{3}}(\vec{j_{0}} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{A}\notag
\]
我们发现\(j_{0} + \frac{\partial D}{\partial t}\)在这个过程中进出是相等的,1曲面没有位移电流,3曲面没有自由电流,位移电流\(I_{D} = I_{0}\)
引入三个物理量
\[
\left\{
\begin{matrix}
\Phi_{D} = \iint \vec{D} \cdot d \vec{A} \ electric \ displacement \ flux \ 电位移通量 \\
i_D = \frac{d\Phi_{D}}{dt} = \iint \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d \vec{A} \ displacement \ current \ 位移电流 \\
\vec{j_{D}} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \ displacement \ current \ density \ 位移电流密度
\end{matrix}
\right.\notag
\]
所以我们就得到了新的安培环路定理:
\[
\oint \vec{H} \cdot d \vec{l} = i_{0} + i_{D} = \iint(\vec{j_{0}} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{A}\notag
\]
考虑下图的电容器充电,两极板间有位移电流\(I_{D}\),外边电路有自由电流\(I_{0}\),我们想证明\(I_{D} = I_{0}\)
Note
电容器之间电场\(E = \frac{\sigma_{e}}{\epsilon_{0}} = \frac{q}{\epsilon_{0}A}\),\(\sigma_{e}\)是面电荷密度,等于\(\frac{q}{A}\)
\(q = \epsilon_{0}AE = \epsilon_{0} \Phi_{E} = AD\)
(我们知道\(D = \epsilon_{0} \vec{E} + \vec{P}\),电介质没有介质时,\(\vec{P} = 0\),所以\(D = \epsilon_{0}E = \Phi_{E}\))
\[
\Rightarrow i_{0} = \frac{dq}{dt} = \epsilon_{0} \frac{d\Phi_{E}}{dt} = \frac{d\Phi_{D}}{dt} = i_{D}
\]
我们就证明了\(i_{D} = i_{0}\)
如果电容器充满电,\(i_{0} = i_{D} = 0\)
变化的电场产生磁场,变化的磁场产生电场,这就是麦克斯韦方程.
最后可以得到:
\[
\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = \iint \vec{J} \cdot d \vec{S} + \iint \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d\vec{S} \\
\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial D}{\partial t}\notag
\]
最终得到麦克斯韦方程组:
