量子力学
光的本质
黑体辐射
黑体辐射指一种理想化的物体(称为黑体)在热平衡状态下发出的电磁辐射.黑体能够吸收所有入射的电测辐射,而不反射或透射任何辐射
普朗克辐射定律
\[
R(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\notag
\]
\(h=6.63\times 10^{-34}J\cdot s\)
约化普朗克常数\(\overline{h}=\frac{h}{2\pi}\)
光子的性质
波:
\[
\vec{E}=\vec{E_m}\cos{(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}或者\vec E=\vec E_me^{i(\vec k \vec r-\omega t)}\notag
\]
粒子:
\[
E=h\nu=h\frac{\omega}{2\pi}=\overline{h}\omega
\]
\[
E=mc^2=pc
\]
\[
动量p=\frac Ec=\frac{h\nu}{c}=\frac h \lambda=\overline h k\notag
\]
光电效应
\[
K=\frac12 mv^2=eV_0
\]
\[
V_0是截止电压
\]
-
阈值频率:只有当入射光的频率高于某个特定值的时候,才会发生光电效应;
-
能量关系:光子能量一部分用于克服逸出功,剩下的转化为电子的动能.
-
\[
h\nu=K+\phi=\frac12 mv^2+\phi
\]
物质波
一个粒子速度为\(v\),质量为\(m\)
- 动量\(p=mv\);
- 动能\(E_k=\frac12 mv^2\)
其波性质
- \(E=h\nu=\overline{h}\omega\)
- \(p=\frac{h}{\lambda}=\overline{h}k\)
波长为
\(\lambda=\frac hp=\frac{h}{mv}=\frac{h}{\sqrt{2mE_k}}\)
我们有了频率和波长,就可以写出波函数:
\[
\Psi=C\cos{(kx-\omega t)}
\]
\[
\Psi=Ce^{i(kx-\omega t)}=Ce^{\frac{i}{\overline h}(px-Et)}
\]
波函数的物理解释
波恩:\(\Psi\Psi^*\cdot dx\)表示从\(x\)到\(x+dx\)这段距离内,找到粒子的几率
定义几率密度\(P(x)=\Psi\Psi^*\)
如果要求粒子在\(x_1\)到\(x_2\)之间被找到的几率,那么
\[
P(x_1,x_2)=\int_{x_1}^{x_2}P(x)dx\notag
\]
归一化\(\int_{-\infty}^{+\infty}P(x)dx=1\).
对于自由粒子:
\[
P(x)=[\psi_0e^{i(kx-\omega t)}][\psi_0^*e^{-i(kx-\omega t)}]=|\psi_0|^2
\]
在负无穷到正无穷找到的概率都是一样的
算符
虽然我们不能准确描述一个粒子的位置,但是我们可以有期望位置
\[
\overline{x}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}x\Psi^*\Psi dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*x\Psi dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*x\Psi dx=\langle\psi|x|\psi\rangle=\langle|x|\rangle\notag
\]
\[
\overline{U}=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*U(x)\Psi dx=\langle\psi|U(x)|\psi\rangle\notag
\]
\[
首先我们有波函数\Psi=\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=ik\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
\[
-i\overline{h}\frac{\partial \Psi}{\partial x}=(-i\overline{h})ik\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=\overline{h}k\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
\[
\Rightarrow -i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x}\Psi=p\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=p\Psi
\]
我们就求得了动量算符\(p=-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x}\)
利用动量算符求动量的平均值
\[
\begin{align*}
\overline{p}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})\Psi dx \\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\overline{h})ik\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx=\overline{h}k\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\psi_0e^{i(kx-\omega t)}dx\\
&=\overline{h}k\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx=\overline{h}k
\end{align*}
\]
\[
波函数\Psi=\psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
\[
对t求偏导: \ \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\omega \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}
\]
\[
i\overline{h}\frac{\partial \Psi}{\partial t}=(i\overline{h})(-i\omega) \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=\overline{h}\omega \psi_0 e^{i(kx-\omega t)}=E\Psi
\]
我们得到能量算符\(E=i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t}\)
然后一样求平均
\[
\begin{align*}
\overline{E}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t})\Psi dx \\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t})\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(i\overline{h})(-i\omega)\psi_0e^{i(kx-\omega t)} dx=\overline{h}\omega \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\psi_0e^{i(kx-\omega t)}dx\\
&=\overline{h}\omega \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*\Psi dx=\overline{h}\omega
\end{align*}
\]
薛定谔方程
一个粒子的总能量
\[
E=\frac12mv^2+U=\frac{P^2}{2m}+U\notag
\]
方程两边同时乘以\(\Psi\)
\[
E\Psi=\frac{P^2}{2m}\Psi+U\Psi\notag
\]
我们前边又求出了动量和能量算符,带入
\[
\begin{align*}
i\overline{h}\frac{\partial}{\partial t}\Psi&=\frac{1}{2m}(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})(-i\overline{h}\frac{\partial}{\partial x})\Psi+U\Psi\\
&=-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+U\Psi
\end{align*}
\]
然后我们就得到了一维含时薛定谔方程
\[
i\overline{h}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=[-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t)]\Psi(x,t)
\]
只要我们知道势能\(U(x,t)\),我们就能解出\(\Psi(x,t)\)
我们把上边的薛定谔方程改写一下
\[
i\overline{h}\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\Psi(x,t)
\]
\(\hat{H}\)称为能量算符,也叫哈密顿算符
- 如果是一维,\(\hat{H}=-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t)\)
- 如果是三维,\(\hat{H}=-\frac{\overline{h}}{2m}\nabla^2+U(x,t)\)
如果能量是确定的(\(U\)不随时间变化),那么波函数可以写成
\[
\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\omega t}=\psi e^{-i\omega t}
\]
带回去得到定态薛定谔方程
\[
-\frac{\overline{h}}{2m}\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x)
\]
势垒隧道与测不准原理
势垒隧道
在经典力学中,如果有一个势能壁垒,我想要跨过这个壁垒,那我的能量必须要大于这个壁垒.
但是在量子力学中,即使粒子的能量小于壁垒,仍然有概率穿过这个势垒,就像走了隧道一样.
测不准原理
- \(\Delta x\Delta p\ge\frac{\overline{h}}{2}\)
- \(\Delta E\Delta t\ge\frac{\overline{h}}{2}\)