Chapter 1

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除法器

有符号数相除,约定 remainder 符号与 被除数符号一致.

例: -7 / 2 = -3 余 -1 7 / (-2) = -3 余 1 运算的结果放在 remainder 中,高位是余数,低位是商

浮点数

单精度浮点数

用8位表示指数,23位表示尾数 第31位表示正负,30到23位表示指数,22位到0位表示尾数 指数部分有 bias = 127 的偏移量,真正的指数等于 exp - bias

Example

-0.11 = -1.1 * 2 ^-1 表示成单精度: 1 01111110 10000000000000000000000

15 = 1111 = 1.111 * 2 ³ 表示成单精度 : 0 10000010 11100000000000000000000

-15 = -1.111 * 2 ³ 表示成单精度 : 1 10000010 11100000000000000000000

注意:指数部分 00000000 和 11111111 作为保留数,不允许使用. 所以单精度浮点数最小可以表示 \(\pm\) 1.0 * 2 ^-126 \(\approx\) \(\pm\) 1.2 * 10 ^-38 最大可以表示 \(\pm\) 2.0 * 2 ¹²⁷ \(\approx\) \(\pm\) 3.4 * 10 ³⁸ 精度相当于6位十进制数, 23 * \(\log2\) \(\approx\) 23 * 0.3 \(\approx\) 6

双精度浮点数

用11位表示指数,52位表示尾数 第31位表示正负,30到20位表示指数,19位到0位再加上另一个寄存器的32位表示尾数 指数部分有bias = 1023 的偏移量,真正的指数等于 exp - bias

最小可以表示 \(\pm\)1.0 * 2 ^-1022 \(\approx\) \(\pm\) 2.2 * 10 ^-308 最大可以表示 \(\pm\) 2.0 * 2 ¹⁰²³ \(\approx\) \(\pm\) 1.8 * 10 ³⁰⁸ 精度相当于16位十进制数

浮点数的上溢和下溢表示

非规格化数

exp全0,用来表示0以及非常接近0的数.

\(x=(-1)^{sign} \times ((0.fraction) \times 2^{1-bias})\)

特殊数

• exp全1,fraction全0,表示 \(\pm\) INF
• exp全1,fraction不全0,表示 NaN

计算

十进制与二进制互转

十进制小数转二进制

将十进制小数乘以二,取出整数部分,再继续对剩下的小数做同样操作.如:

1. 要将0.15625转为二进制,首先将0.15625*2 = 0.313,取整数部分为0;
2. 再将0.313*2 = 0.626 ,整数部分为0;
3. 再0.626*2 = 1.252,整数部分为1,去掉整数,保留小数;
4. 0.252*2 = 0.504,整数部分为0;
5. 0.504*2 = 1.008,整数部分为1;
6. 最后根据题目的精度要求保留
7. 最终得到(0.15625)₁₀=(0.00101)₂=1.01*2^{-3}

二进制小数转十进制

分别考虑整数和小数部分:

• 整数部分直接转
• 小数部分,二进制0.1对应十进制0.5(\(\frac12\)),二进制0.01对应十进制0.25(\(\frac14\)),以此类推,得到小数部分
• 最后整数和小数相加

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